Legendre符号的一些引理及其部分性质的证明

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【* 引理（Gauss）：令p为奇素数，a\in \mathbb{Z}，且\gcd \left( a,p \right)=1。对于所有k\in \mathbb{Z}满足1\le k\le \frac{p-1}{2}，设{{r}_{k}}\in \mathbb{Z}，其中0\le {{r}_{k}}，并满足ak\equiv {{r}_{k}}\text{ }\bmod p。此时有\left( \frac{a}{p} \right)={{\left( -1 \right)}^{m}}，其中m表示大于\frac{p}{2}的{{r}_{k}}的数量。

• • 推论1：设p为奇素数，且a\in \mathbb{Z}满足\gcd \left( a,p \right)=1。则可得\left( a-1 \right)\frac{{{p}^{2}}-1}{8}\equiv \left( \sum\limits_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}{\left[ \frac{ak}{p} \right]}\right)+m\text{ }\bmod 2，其中m的含义与引理中一致。

  • • 推论1-1：若p为奇素数，则有$\left( \frac{2}{p} \right)={{\le