《实变函数简明教程》P78题2（判断函数可测性）

《实变函数简明教程》，P78，第2题（判断函数可测性）

• 引理：第59页，定义3.1
  • 引理：第49页，定理2.2（i）
  • 习题：第78页，第2题
  • 解答过程

引理：P59，定义3.1

设E\subset {{\mathbb{R}}^{n}}为可测集，f为定义在E上的广义实值函数。若对于任意给定的实数a，满足不等式f(x) > a的所有点x构成的集合\left\{ x|x\in E,\text{ }f\left( x \right)>a \right\}在{{\mathbb{R}}^{n}}中属于可测集，则称该函数f为定义在集合E上的Lebesgue可测函数，简称为f在集合E上是可测函数，或说函数f在区域E内具有可测性。

引理P49与定理2.2（i）的证明

当{{E}_{1}}\in \mathscr{M}且{{E}_{2}}\in \mathscr{M}时，集合的并集{{E}_{1}}\cup {{E}_{2}}、交集{{E}_{1}}\cap {{E}_{2}}以及差集{{E}_{1}}\backslash {{E}_{2}}均属于\mathscr{M}，这里的\mathscr{M}表示所有可测集合构成的集合族。

题目定位与编号