The Heine-Borel theorem illustrates the completeness of real number theorems.

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1、聚点定理证明确界原理

设 $S$ 为一个具有上界特征的数集，则存在实数 $b$ ，使得对于所有 $x\in S$ ，均有 $x< b$ 。选取 $a\in S$ ，构造闭区间 $[a,b]$ 。

定义性质 $P$ : 在该区间中至少包含一个属于集合 $S$ 的元素，并且该区间的右端点是集合 $S$ 的一个上界。

通过采用二等分法 可以较为便捷地建立一组满足性质 $P$ 的区间序列 $\left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\}$ 。

定义性质 $P$ : 无法使用集合 $H$ 中的有限数量开区间完成覆盖。

$(1)$ 将初始区间 $[a,b]$ 划分为两个相等长度的子区间，其中至少有一个子区间具备性质 $P$ ，假设此子区间为 $[a_{1},b_{1}]$ ，则有 $[a_{1},b_{1}]\subset[a,b]$ 。

$(2)$ 将前一子区间 $[a_{1},b_{1}]$ 继续划分为两个相等长度的子区间，其中至少有一个具备性质 $P$ ，假设此子区间为 $[a_{2},b_{2}]$ ，则有 $[a_{2},b_{2}]\subset[a_{1},b_{1}]$ 。

$\cdots$

$(n)$ 将前一个子区间 $[a_{n-1},b_{n-1}]$ 划分成两个相等长度的子区间，则其中至少有一个具备性质 $P$ , 假设此子区间的端点

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