MIT 线性代数笔记 05 转置置换空间 R^n

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课程 5：转置、置换、空间R^n

置换矩阵(permutation matrix)

置换矩阵的每一行与每一列均仅包含一个 $1$ ，其余位置上的数值均为 $0.$
通过交换单位矩阵中的行或列，可以生成相应的置换矩阵。
当一个矩阵与置换矩阵相乘时，其结果等价于对该矩阵的行或列进行重新排列。
置换矩阵具有如下特性： $P^{-1} = P^T$ ，这表明所有置换矩阵均为正交矩阵。
因为每行均可从单位矩阵中选取一行作为对应元素，所以 $n \times n$ 维的置换矩阵总数为 $n !$ （第一行有 $n$ 种选择方式，第二行有 $n-1$ 种选择方式， $\cdots$ ，第行有种选择方式）。

转置
将矩阵 $A$ 的行列互换后得到的新的矩阵称为其转置，并记作 $A^T$ 。

若某一个矩阵满足条件 $A=A^T$ ，则该矩阵被称为对称矩阵。

对于任意给定的矩形或方阵，无论其形状如何，表达式 $A^TA, AA^T$ 所得到的结果必定是对称形式。这一现象源于

这也提供了一种构造对称结构的有效途径。

空间 $\mathbb{R}^n$

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