伪逆（Pseudoinverse）

伪逆（Pseudoinverse）

伪逆矩阵 A+A^+ —— 当矩阵 AA 无法进行求逆运算时，其最佳替代方案

行空间中的向量 vi\boldsymbol{v}_i 经过矩阵 AA 的作用后，将映射为列空间中的向量 σiui\sigma_i\boldsymbol{u}_i
Avi=σiui A\boldsymbol{v}_i=\sigma_i\boldsymbol{u}_i
若矩阵 AA 具备可逆性
viσi=A−1ui \frac{\boldsymbol{v}_i}{\sigma_i}=A^{-1}\boldsymbol{u}_i
对于矩阵 A−1A^{-1} 而言，其对应的奇异值为 1σ\frac{1}{\sigma}、而该矩阵的特征值则为 1λ\frac{1}{\lambda}

当矩阵 AA 不具备可逆性时，可以采用其伪逆 A+A^+ 进行替代
在矩阵 AA 不满足满秩条件的情况下，即 r<mr<m 或 r<nr<n，此时伪逆表达式为 A+=VΣ+VTA^+=V\Sigma+V^T

当矩阵AA具有满秩特性时，亦即满足m=n