黎曼zeta函数在点2处

黎曼zeta函数研究

• 关于J(x)的求解过程

  • • 积分常数的设定

    • • \Re(\beta) > 0的情形

    • 对\sum_\rho\ln(1 - \frac{s}{\rho})这一项的求解

    • 对\ln\Gamma(\frac{s}{2} + 1)这一项的求解

    • • \Re(\beta) < 0的情形

    • 其他相关项的计算

本文为关于黎曼\zeta函数系列文章中的第三部分，相关内容可从此处进入书接上回，接下来我们将继续深入探讨。

对J(x)的计算

上回提及，对J(x)实施一次分部积分运算后所获得的表达式为
J(x) = -\frac{1}{2\pi i}\frac{1}{\ln x}\int_{a - i\infty}^{a + i\infty}x^zd\frac{\ln\zeta(z)}{z}
其中
\ln\zeta(s) = \ln\xi(0) + \sum_\rho\ln(1 - \frac{s}{\rho}) - \ln\Gamma(\frac{s}{2} + 1) + \frac{s}{2}\ln\pi - \ln(s -1)
黎曼观察到，除了\ln\xi(0)这一项外，其余部分均可表示为如下形式：
$F(\be