高代五·二次型及其矩阵表示

§ 1 二次型及其矩阵表示
在解析几何中, 我们看到,
当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程是
a x^{2}+2 b x y+c y^{2}=f .
为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 我们可以选择适当的角度 \theta,
作转轴 (反时针方向转轴)
\left\{\begin{array}{l} x=x^{\prime} \cos \theta-y^{\prime} \sin \theta, \\ y=x^{\prime} \sin \theta+y^{\prime} \cos \theta, \end{array}\right.
把方程 (1) 化成标准方程. 在二次曲面的研究中也有类似的情况.
(1) 的左端是一个二次齐次多项式.
从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换 (2)
化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何中出现,
而且在数学的其他分支以及物理、力学中也常常会碰到.
这一章就是来介绍它的一些最基本的性质.
设 P 是一数域,一个系数在数域 P 中的 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}
的二次齐次多项式
$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{11}