实变函数论1-集合5-无限集1-可列集合8：定理5证明了全体有理数组成一个可列集合，并且这些有理数与正整数之间存在一一对应的关系

定理4

设 A _ { i } ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 均为可数集合，则其无限并集 \bigcup _ { i = 1 } ^ { ∞ } A _ { i } 同样属于可数集合范畴。

定理5

有理数的全体构成一个可数集合。

证明
令A _ { i } = \left\{ \cfrac { 1 } { i } , \cfrac { 2 } { i } , \cfrac { 3 } { i } , \cdots \right\} ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots ) ,则 A _ { i } 是一个可数集合。

由此可知，根据定理4，所有正有理数组成的集合\mathrm { Q } ^ { * } = \bigcup _ { i = 1 } ^ { \infty } A _ { i } 是一个可数集。由于正负有理数之间可以通过映射 \varphi ( r ) = - r 建立一一对应关系，因此所有负有理数组成的集合\mathrm { Q } ^ { - } 同样为可数集。而整个有理数集合\mathbf { Q } = \mathbf { Q } ^ { + } \cup \mathbf { Q } ^ { - } \cup \{ 0 \} ，根据定理3的推论可以得出$\