数理统计学的基本核心内容及其数学基础

1. 统计量

1.1 样本均值

统计量 \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i = \frac{1}{n}(X_1+X_2+...+X_n) 称为样本均值。

定理 ：设总体 X 的均值(即数学期望) E(X)=\mu 和方差 D(X)=\sigma^2 存在 ，则：

• E(\overline{X})=\mu, D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}
  • \operatorname{plim}_{n \rightarrow \infty} \bar{X} = \mu

1.2 样本方差

注：改写后的文本仅做表达方式的改变

定理 ：设总体 的均值 和方差 存在，则

• E(S^2) 代表总体方差的计算值
• 若其四阶矩存在（亦即 D(X^2) 存在），则当样本量趋于无穷大时样本方差依概率收敛于总体方差 \sigma^2

1.3 样本矩

在统计学中，在统计学中，
取样为n个数据点的情况下，
取样为n个数据点的情况下，
样本k次原点矩定义为

A_k = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} X_i^{k}

（其中$k=1