初等数论教学内容（第三章）：剩余类及其相关结构

索引

• 剩余类, 剩余类环
  • • 定理: \mathbb{Z}={{K}_{0}}\bigcup {{K}_{1}}\bigcup \cdots \bigcup {{K}_{m-1}},\text{ }{{K}_{i}}\bigcap {{K}_{j}}=\varnothing \left( \forall i\ne j \right)
    • 定理: 当且仅当两个整数之差能被m整除时，这两个整数属于模m的同一剩余类。
    • 定理: 若p为素数，则\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}构成一个域，通常记作{{\mathbb{F}}_{p}}。
    • 定理: 如果m为合数，则\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}不可能构成一个域。

  • 完全剩余系

  • • 定理: 当m个整数组成的集合满足其中任意两个元素对模m不同余时，该集合即为模m的一个完全剩余系。
    • 定理: 若{{a}_{0}},{{a}_{1}},\cdots ,{{a}_{m-1}}是模m的一个完全剩余系，并且满足\gcd \left( a,m \right)=1，则经过变换后得到的序列$a{{a}{0}}+b,\text{ }a{{a}{1}}+b,\text{ }\c