拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法

一种无需采用消元法 即可解决条件极值问题 的高效途径

二元函数分析方法

我们从 f, \varphi 均为二元函数这一基础情形开始分析。为了寻找函数

z=f(x, y)

的极值，其中 (x, y) 受到约束条件

C: \varphi(x, y)=0

的限制。若将约束条件 C 视为 (x, y) 所构成的曲线方程，并假设在该曲线上某一点 P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) 是函数 f 在约束条件下取得极值的位置，同时在该点附近，方程 C 能够唯一确定一个可微的隐函数 y=g(x)，那么此时 x=x_{0} 必然也是函数 z=f(x, g(x))=h(x) 的极值点。因此，在点 P_{0} 处，由于 f 和 g 均具有可微性，可以得出如下表达式：

h^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) g^{\prime}\left(x_{0}\right)=0

而当 \varphi 满足隐函数定理的前提时，

$g ^{\prime}\left(x_{0}\right)=-\frac{\varphi