Real variable function theory: Theorem 1, R is an uncountable set, and R is equivalent to 2^N (where 2^N represents the set of all subsets of natural numbers).

例4
实数集 \mathbf { R } 与开区间 ( 0 , 1 ) 存在一一对应关系，具体可通过如下方式实现：对于任意 x \in ( 0 , 1 )，定义映射 \varphi ( x ) =\tan \left( \pi x - \cfrac { \pi } { 2 } \right) .

定理1

全体实数构成的集合 \mathbf{R} 属于不可数集合范畴。

证明
依据 ⅋ 3例4中所展示的内容，\mathbf{R} 与区间 (0,1) 具有相同的势，因此只需验证 (0,1) 是否为不可数集即可。

首先，在 (0,1) 区间内的每一个实数 a 均能被唯一地表示为十进制无限小数的形式：

a = 0.a_1 a_2 a_3 \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n}

其中每个 a_n 都是数字 0, 1, \cdots, 9 中的一个，且不全为9，并且不以零作为循环节。这种表示方式被称为实数的正规表示①。反过来，每一个具有上述形式的无限小数都可视为 (0,1) 内某一实数的正规表示。

接下来采用反证法进行推导：假设 (0,1) 中的所有实数能够按照一定顺序排列成一个序列：

$(0,1) = \left{