信号频谱的绘制——DFT简述

【在信号系统中，我们了解到，若想对某一信号的频谱进行分析，只需对该信号实施Fourier变换，即可获取其幅度谱与相位谱。然而令人遗憾的是，Fourier变换的计算过程较为复杂，因此是否可以借助计算机完成这一任务呢？

人工运算的方式仅适用于连续时间信号1，而计算机只能处理有限数量的采样点，因此我们首先需要将连续时间信号转换为离散时间信号。
依据采样定理，我们应选择适当的抽样频率以避免频谱混叠现象的发生。
在对信号完成处理后，接下来需要考虑如何执行Fourier变换。

针对离散序列的Fourier变换（DTFT）
X(e^{j\omega}) = \sum_{-\infty}^\infty x(n) e^{-j\omega n}
可以看出，尽管时域已实现离散化，但频域中\omega的取值依然是连续的。这意味着计算机仍然无法直接处理此类频谱信息，我们需要进一步对频谱进行离散化处理。
考虑到周期函数的频谱由基频加上k次谐波构成，因此可以从周期函数入手实现频谱的离散化。
假设现在存在一个离散周期序列，其周期为N，则其k次谐波分量X(k)为e^{jk\frac{2\pi}{N}n}。随着k的变化可以发现，在看似无限多的频率分量中仅有N个是独立存在的，也就是说频率分量呈现出周期性变化特性：
$e^{j\frac{