数学分析(一)-实数集与函数-反函数

五、反函数

函数 y=f(x) 中的自变量 x 与因变量 y 之间的关系通常是相互依存的。在某些情况下，我们不仅需要分析 y 随着 x 的变化情况，也需探讨 x 随着 y 的变化趋势。为此，引入了反函数的概念。

设函数

y=f(x), x \in D

满足：对于值域 f(D) 中的每一个元素 y，在定义域 D 内存在唯一一个元素 x，使得

f(x)=y,

则根据这一对应规则可构造出一个定义于集合 f(D) 上的新函数，该函数被称作原函数 f 的反函数，记作
\begin{array}{c} f^{-1}: f(D) \rightarrow D, \\ y \longmapsto x \end{array}

或表示为：

x=f^{-1}(y), y \in f(D) .

注 1 函数 f 存在反函数意味着它是在集合 D 与值域集合 f(D) 之间建立的一个一一对应关系。我们将此反函数记作 f^{-1}，它作为映射的逆过程将集合 f(D) 映