解析函数用幂级数表示洛朗展开

解析函数的幂级数理论--洛朗展开 Laurent展开

• 函数序列一致收敛的相关特性
  • 幂级数及其与解析函数的关系
  • 解析函数的泰勒级数展开形式(Taylor 展开)
  • 解析函数的洛朗级数展开形式(Laurent 展开)

函数项级数一致收敛性质分析

【和函数连续

若级数 \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) 的各项在集合 E 上具有连续性，并且该级数在 E 上一致收敛于 f(z)，则其和函数
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z)
同样在 E 上保持连续性质。

逐项求积分

假设级数 \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(z) 的各项在曲线 C 上具备连续性，并且该级数在 C 上一致收敛至 f(z)，则可对曲线 C 进行逐项积分操作，即
\int_{C} \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(z) \mathrm{d} z=\sum_{k=1}^{\infty} \int_{C} u_{k}(z) \mathrm{d} z

魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理–逐项求导数

若级数 \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) 的每一项均在区域 D