泛函分析基础7-1-度量空间4-1：柯西序列{xn}为度量空间X中的一个序列。若对于任意给定的ε>0都存在一个正整数N=N(ε)，使得当n,m>N时有d(x_n,x_m)< ε，则称{xn}为X中的柯西序列/基本序列

柯西(Cauchy)收敛准则

数列 \left\{a_{n} \}\right. 收敛的必要且充分条件为：对于任意给定的 \varepsilon>0，总存在一个正整数 N，使得当 n, m>N 时，满足 \left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon。该定理从理论层面彻底澄清了数列极限是否存在这一问题。

《数学分析》<>

首先回顾一下 \mathbf { R }（实数集）中柯西点列 的定义。

若 \left\{ x _ { n } \right\} 是 \mathbf { R } 中的一个点列，并且对于任意一个正数 \varepsilon > 0，存在一个正整数 N = N ( \varepsilon )，使得在 n , m > N 的情况下，有 d \left( x _ { n } , x _ { m } \right) = \left| x _ { n } - x _ { m } \right| < \varepsilon，则称该点列 \left\{ x _ { n } \right\} 为 \mathbf { R } 中的柯西点列。

说明：当序列中的项足够大时，任意两项之间的差距将趋于无限小。

同样地，在度量空间中也可以对柯西点列进行定义。