矩阵的奇异值分解与特征值

以方程组Ax=b为例，在其中x是一个m维列向量，在此情况下b也是一个n维列向量，在这种情况下m与n可能相等；就上述理解而言：将该x向量通过连续施加多个线性变换映射至目标b向量。其中每个线性变换对应于矩阵A中的一个行操作。

这样的线性变换的作用可以包括：旋转、缩放和投影。这三种类型效应。

例如：

其几何意义为沿x轴方向进行放大3倍，在y轴方向无变化的变化效果即为缩放变换。
若前一个相乘的结果并非对称矩阵，则其几何意义表现为缩放与旋转的结合。
若矢量X为一个2×2维度的矩阵，则通过左乘一个1×2维度的矩阵A可以实现将X映射到1×2维度的空间中。

奇异值分解本质上是将线性代数中的三种基本变换——旋转、缩放和剪切——进行解析式的构建。该矩阵A的结构实质上是由一系列线性变换所构成的，在这些基底向量下构建了一个对角阵\sum（读作西格玛），其中\mu和\sigma分别代表两组标准正交基底向量集合，在这些基底向量下构建了一个对角阵\sum（读作西格玛），对角阵中的元素即为奇异值λ_i。矩阵A的作用即是对任意向量x首先进行基底变换至另一空间（即先对输入向量x进行基底变换至另一空间），然后对该空间中的向量按照对应的缩放比例λ_i进行缩放操作（即沿各自对应的特征方向进行缩放），最后再将结果转换回原始基底下表示出来（即再对旋转后的结果执行一次基底变