Mathematical Problem 2: Spatial Inertia [The Spatial Inertia]

在刚体动力学领域中存在这样一个问题的内容参考Abhinandan Jain的Robot and Multibody Dynamics

空间惯量（ The Spatial Inertia）

单个刚体的动能可表示为以下体积积分：

E = \frac{1}{2}\int _\Omega v^T(x)\rho (x)v(x)d \textrm{v}(x)

在该表达式中被定义的是一个与位置点x相关的参数；其中变量v(x)代表了该点x处的线速度值；而变量\rho(x)则代表了该位置处的质量密度值；最后一项d\textrm{v}(x)则代表了一个包含该位置x在内的体积微分量。

我们指定刚体上某一点k，并定义其空间速率为v(k)。对于刚体上的任一其他点x而言，在此坐标系下其空间速率为v(x)，这一速率与其参考点k的速度v(k)存在关联关系

v(x) = Rv(k)

其中，R为k点到x点的变换矩阵。此时，刚体的动能可以表示为：

E 被定义为 \frac{1}{2} 的一个乘积项，在 k 点处取值即为向量 v 的转置与一个包含积分符号的部分相乘的结果。
进一步计算可得，
该表达式被定义为 \frac{1}{2} 向量 v 在 k 点处的转置与函数 M 在 k 点处作用后的结果相