实变函数论1-集合5-无限集2-不可列集合6：定理4设有集合序列{Aₙ}（n属于正整数），其中每个Aₙ的基数为c，则其笛卡尔积∏_{n∈Z⁺} Aₙ的基数也为c，并非总是至多可数集

定理2

任意区间( a , b ) , [ a , b ) , ( a , b ] , ( 0 , \infty ) , [ 0 , \infty ) 均具有连续基数 c （这里a < b ) .

定理3

令 A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots 是一系列互不相交的集合，并且每个集合的基数均为c；则集合\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n 的基数同样是c。

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于是由定理2即得，

定理4

设有任意的一组集合序列\left\{ A_{n} | n\in\mathbf{Z}^{+}\right\}满足对于每个n都有\overline{\overline{A_{n}}} = c（其中n=1,2,\cdots），令A为该序列的笛卡尔积，则其笛卡尔积的势为c。

证明
由于 \overline{\overline{ A_n }} = \overline{\overline { ( 0 , 1 ) }} = c , 不妨设A _ { n } = ( 0 , 1 ) , n = 1 , 2 , \cdots .

首先把 ( 0 , 1 ) 中任何 x 与 A 中点

$\bar { x } = { x , x , x , \cd