convex function 1 (Stanford Convex Optimization Notes 5)

1 基本性质和例子

1.1 凸函数

若函数 f:R^n \rightarrow R 满足 \mathbf{dom }\ f 是凸集，且对于任意 x,y \in \mathbf{dom }\ f 以及任意 0 \leq \theta \leq 1，成立不等式：
f(\theta x+(1-\theta)y) \leq \theta f(x)+(1-\theta)f(y)，
则称该函数为凸函数。

当上述不等式在 x \neq y 且 0<\theta<1 的情况下严格成立时，称该函数为严格凸函数。

若函数 -f 具备凸性，则原函数也具有凸性。

1.2 扩展值延伸

通常情况下，可以将凸函数在定义域之外的值定义为 \infty，从而将其拓展至整个空间 R^n。

对于一个凸函数，其扩展值延伸 \widetilde{f}：R^n \rightarrow R\cup \{\infty\} 可以如下定义：

该延伸后的函数定义在整个空间上，其取值范围为 R\cup\{\infty\}。
通过延伸后的函数 \tilde{f} 的定义形式，我们能够反推出原函数的定义域，即 \mathbf{dom}\ f =\{x \mid \tilde{f}(x)<\infty\}。
通过