《实变函数简明教程》第8题（讨论[a, b]上可微函数的导数为可测函数）

《实变函数简明教程》，P79，第8题（[a, b]上可微函数的导函数是可测函数）

• 需要进行解析的命题
  • 命题解析的实施步骤
  • 由此得出的结论

待分析命题

定义在闭区间\left[ a,b \right]上的可微函数f\left( x \right)，其导数f'\left( x \right)在该区间上具有可测性。

分析过程概述

【根据导数的定义可知，
f'\left( x \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)}{\Delta x}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+\frac{1}{n} \right)-f\left( x \right)}{\frac{1}{n}}.
鉴于函数f\left( x \right)在区间\left[ a,b \right]上具备可微性，由此可以推得
f\left( x \right)在\left[ a,b \right]区间内具有连续性。
同时考虑到$g\left( x \right)=x+\frac{