稀疏表征即为稀疏字典构建

在信号稀疏表征的应用范畴中，获取合适的字典是一项极为重要的任务。目前所采用的策略主要可以划分为两类，其一是选用传统的字典结构，例如非下采样小波、可旋转小波、轮廓变换以及曲线变换等。这类字典在处理具有分块平滑与边界平滑特性的图像时表现良好，具备较强的泛化能力。然而，在针对特定信号进行处理时，可能并不完全适用。为了实现更加稀疏的表示效果，也可以通过构建自定义字典来实现，当前较为经典的算法包括MOD（最优方向法，由Engan提出）以及K-SVD（由Aharon提出）。

这一优化模型如下：

该优化模型所表述的内涵为：当信号y在未知字典A中存在稀疏表示x时，即可实现对y的表征。

1.MOD-Method of Optimal Directions

前述模型的求解过程本质上可划分为两个独立的部分。首先，可将字典A视为固定不变，进而求取最为稀疏的表征x；随后，在确定稀疏表征x的前提下，再对字典A进行优化。其中，前一阶段的求解可通过正交匹配追踪算法（OMP）实现，而后一阶段则属于典型的均方误差凸优化问题，该问题具备唯一的伪逆解形式。

MOD方法的核心思想正是基于上述思路：

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