径向基函数(RBF)

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1. 什么是径向基函数 (RBF)?

径向基函数作为一类广泛应用的基础函数，主要用来提取输入数据在局部区域的特征信息。该函数的取值仅由输入变量 x 与特定中心点 c_m 之间的欧氏距离决定，而不受方向因素的影响。

公式应用与验证

径向基函数的基本表达式可表示为：
\psi_m(x) = \exp\left(-\frac{\|x - c_m\|^2}{2\sigma_m^2}\right),
其中各参数含义如下：

• x：代表输入的特征向量。
• c_m：对应于第 m 个基函数的中心位置。
• \sigma_m：用于表征第 m 个基函数的宽度，该参数决定了函数在空间中的扩展程度。
• \|x - c_m\|^2：表示输入点 x 与中心点 c_m 之间欧几里得距离的平方，用以衡量两者之间的空间差异。

特性分析与展示

• 局部性 ：随着与中心点 c_m 间距的缩短，函数值呈现上升趋势；而当距离增大时，函数值则会快速下降。
  • 非线性 ：RBF 函数具备非线性特征，能够有效反映输入数据中较为复杂的属性信息。

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2. 在回归模型中的应用

在回归任务中，输入特征可通过引入RBF实现非线性映射，从而构建更具表现力