数学分析(一)：实数集与函数 2-2 确界原理与极限理论的基础。非空数集若存在上、下界，则必有上、下确界。推广：任意非空数集必定存在上、下确界（包括正常和非正常的情况如+∞/-∞）。

二、有界集 ・确界原理

定义 1

设 S 为 \mathbf{R} 中的一个集合. 若存在一个实数 M(L), 满足对于所有 x \in S, 都有 x \leqslant M(x \geqslant L), 则称集合 S 具有上界(下界), 而实数 M(L) 被称为集合 S 的一个上界(下界).

若集合 S 同时具有上界和下界, 则称该集合为有界集. 相反, 若集合 S 不具备有界性, 即不满足上述条件, 则称其为无界集.

例 1
验证正整数集 \mathbf{N}_{+}=\{n| n 为正整数 \} 具备下界但不具备上界.

证
显然, 所有小于或等于 1 的实数均可作为 \mathbf{N}_{+} 的下界, 因此可判定该集合是一个具有下界的数集.

为了证明 \mathbf{N}_{+} 缺乏上界, 根据定义只需说明: 对于任意给定的数值 M, 总能找到某个正整数 $n_{0}\left(\in \mathbf{N}_{+}\right)