用复数证明几何问题时, 三个复數构成等邊三角形當且仅當滿足方程式: \( z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 \)

证明:这三个复数 z_{1}, z_{2}, z_{3} 构成一个等边三角形的三个顶点, 当且仅当它们满足某个特定的关系式

z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}+z_{1} z_{2} .

证
z_{1}z_{2}z_{3}构成等边三角形的充分且必要条件为：向量\overrightarrow{z_{1} z_{2}}围绕z_1旋转\cfrac{π}{3}或-\cfrac{π}{3}即可得向量\overrightarrow{z_{1} z_{3}}；同样地

z_{3}-z_{1}=\left(z_{2}-z_{1}\right) \mathrm{e}^{ \pm \frac{π}{3} i},

即

\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}=\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i},

即
$\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}-\f