费马数的基础性质

索引

• 费马数定义

  • 性质1：当m\ge 1时，{{F}_{m}}模4余1。

  • 性质2：当m\ge 1时，{{F}_{m}}模3余2。

  • 性质3：当m\ge 1时，{{F}_{m}}模12余5。

  • 性质4：在m\ge 1的情况下，存在等价条件{{F}_{m}}是素数\Leftrightarrow {{3}^{\frac{{{F}_{m}}-1}{2}}}\equiv -1\text{ }\bmod {{F}_{m}}

  • • \left( \Rightarrow \right)方向的证明
    • \left( \Leftarrow \right)方向的证明

  • 借助性质4验证{{F}_{3}}=257为素数。

  • 借助性质4验证{{F}_{4}}=65537为素数。

  • 命题：费马数可能具有素数特征，也可能不具备素数特征。

  • 定理：设a,m\in \mathbb{Z},\text{ }a\ge 2,\text{ }m\ge 1。若{{a}^{m}}+1为素数，则满足以下两个条件：1）a为偶数；2）m是2的整数次幂。

费马数定义

Fermat数定义为{{F}_{m}}={{2}^{{{2}^{m}}}}+1，其中m属于非负整数集合。当