高等数学-微分学及其应用（四）

微分定义

设函数y=f(x)在某一区间内具有定义，若x0以及x0+Δx均位于该区间内，则函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示为：
Δy=AΔx+o(Δx)
其中A为与Δx无关的常数，此时称函数y=f(x)在点x0处可微，AΔx被定义为函数y=f(x)在点x0处对应于自变量增量Δx的微分，记作dy
即有：
dy=AΔx
上述表达式可进一步统一为：
Δy=dy+o(Δx)

当Δx趋近于零时，lim o(Δx)趋近于零，此时有Δy≈dy，且A等于f’(x0)。因此，在函数y=f(x)于点x0处可微的情况下，可得：
Δy≈dy=f’(x0)Δx

通常将自变量的增量Δx称为自变量的微分，并记作dx。基于此定义，上述关系式还可表示为：
dy=f’(x)dx
即：
f(x0+Δx)-f(x0)≈f’(x)dx

关于微分的几何意义在于，在局部区域内利用切线段对曲线段进行近似替代，这一过程也被称为非线性函数的局部线性化。

微分在工程上近似公式

依据微分的基本概念，可以推导出如下近似表达式：
f(x) ≈ f(0) + f’(0)x
在此基础上，进一步可得出以下结论：
① (1+x)^a ≈ 1 + ax
② sinx ≈ x （其中x以弧度为单位）
③ tanx ≈ x （其中x以弧度为单