复变函数论|第一章复数及其应用

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第一章复数与复变函数

$z=x+iy$

其中， $x$ 代表复数 $z$ 的实部（ $\operatorname{Re} z$ ），而 $y$ 则表示其虚部（ $\operatorname{Im} z$ ）。相关运算包括共轭复数、加法、减法、交换律、结合律、乘积以及商等。

在引入上述运算规则后，所有复数组成的集合被定义为复数域，通常以符号 $C$ 加以表示。

复数 $z=x+iy$ 可由有序实数对 $(x,y)$ 唯一确定。

因此，复数 $z=x+iy$ 能够通过横坐标 $x$ 对应于实轴、纵坐标 $y$ 对应于虚轴的点进行唯一标识。

用于表示复数 $z$ 的平面被称为复平面。

在复平面上，从坐标原点指向点 $(x,y)$ 的向量与复数 $z$ 之间存在一一对应的映射关系。

【复数 $z=x+iy$ 可采用极坐标形式 $r$ 与 $\theta$ 进行表达

复数的模 $|\vec{z}|$
$|\vec{z}|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant 0$

满足关系式： $|x| \leqslant|z|$ ， $|y| \leqslant|z|$ ，以及 $|z| \leqslant|x|+|y|$

同时有：$-|z| \leqslant \operatorname{Re} z

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