初等数论课堂笔记（第二章）：勾股数及其相似形式！

勾股数及其推广研究

• 定义和例子
  • 引理: 所有满足\left\{ \begin{aligned}& uv={ {w}^{2}} \\ & \gcd \left( u,v \right)=1 \\ \end{aligned} \right.的正整数解均可表示为\left\{ \begin{aligned}& u={ {a}^{2}} \\ & v={ {b}^{2}} \\ & w=ab \\ \end{aligned} \right.，其中a,b为正整数，且\gcd(a,b)=1
  • • 几点说明
    • 推广: 对于所有满足\left\{ \begin{aligned} & uv=k{ {w}^{2}}\left( k\in { {\mathbb{Z}}_{>0}} \right) \\ & \gcd \left( u,v \right)=1 \\ \end{aligned} \right.的正整数解，其表达形式可以写成\left\{ \begin{aligned} & u=k{ {a}^{2}} \\ & v={ {b}^{2}} \\ & w=ab \\ \end{aligned} \right.或$\left{ \begin{aligned} & u={ {b}^{2}} \ & v=k{ {a}^{2}} \