数学优化与凸集（斯坦福凸优化笔记）

1 分离与支撑超平面

（图片来自斯坦福Boyd Convex Optimization）
假设C和D是两个不相交的凸集，那么一定存在a \neq 0 的超平面a^Tx=b将凸集分隔开，使中点满足a^Tx \leq b,而中点满足a^Tx \geq b。注意，逆定理能被超平面分离说明不相交是不成立的。
严格分离：如果存在的超平面将凸集分隔开，使中点满足a^Tx < b,而中点满足a^Tx > b，我们称超平面将凸集严格分离。对于不相交的凸集来说，不一定能被严格分离，但是通常是可以构造出严格分离的。

（图片来自斯坦福Boyd Convex Optimization）
令C \subseteq R^n是一个集合，并设x_0为其边界面\mathbf{bd}C上的一个点。如果a \neq 0且满足对于所有属于C的x都