原根存在性 相关定理（二）

索引

• 引理8 p是一个奇素数, k\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 1}}. 若r是模2{{p}^{k+1}}的原根, 则r也是模2{{p}^{k}}的原根.
  • 引理9 p是一个奇素数, k\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 1}}. 若r是模2{{p}^{k}}的原根, 则r也是模{{p}^{k}}的原根.
  • 推论10 p是一个奇素数, k\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 1}}. 若r是模2{{p}^{k}}的原根, 则r也是模p的原根.
  • 定理11 设p是一个奇素数, k\in {{\mathbb{Z}}_{>0}}, {{p}^{k}}有原根r, 则对于模数为\left\{ \begin{aligned} & r,\text{ }r\equiv 1\text{ }\bmod 2, \\ & r+{ {p}^{k}},\text{ }r\equiv 0\text{ }\bmod 2. \\ \end{aligned} \right.的情形，其对应的原始根为存在。
  • 定理12 设p是一个奇素数, 则所有满足条件的模数为\left. 2{{p}^{k}} \right.时，其对应的原始根集合定义为：$\le