分析ax² + bx + c ≡ 0 (mod m)及x² ≡ a (mod p)解的存在性

索引

• 关于方程 f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\equiv 0\text{ }\bmod m 解存在的探讨
  • 模m下平方剩余与非平方剩余的定义
  • 对同余式{{x}^{2}}\equiv a\text{ }\bmod p（其中p为奇素数，且\gcd \left( a,p \right)=1）解存在性的分析
  • • Euler判别准则：当p为奇素数，且\gcd \left( a,p \right)=1时，有以下结论：
      \begin{aligned} & a是模p的平方剩余\Leftrightarrow { {a}^{\frac{p-1}{2}}}\equiv 1\text{ }\bmod p,此时恰好有两个解 \\ & a是模p的平方非剩余\Leftrightarrow { {a}^{\frac{p-1}{2}}}\equiv -1\text{ }\bmod p \\ \end{aligned}
    • 定理1：若p为奇素数，则在模p下，非零的平方剩余与非平方剩余的数量均为\frac{p-1}{2}个
    • 定理2：当p为奇素数时，${{0}^{2}},\text{ }{{1}^{2}},\text{ }\cdots ,\text{ }{{\left(