泛函分析基础7-1-度量空间1：度量_space_7-1-度量_space_1

令集合 X 定义为非空的点集，并假设其中任意两个元素x,y \in X之间存在唯一的实数d(x,y)与其相对应。该距离函数d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}需满足以下性质：

• 1 ^ { \circ } \quad 度量函数d(x, y)非负，并且d(x, y)=0当且仅当x=y;
  • 2 ^ { \circ } \quad 度量函数满足三角不等式d(x, y)\leqslant d(x,z)+d(y,z), 其中任取的点z都成立，

则称 d ( x , y ) 是 x , y 之间的距离 ，称 ( X , d ) 为度量空间 或距离空间 。

• X 中的元素称为点，
• 条件 2 ^ { \circ } 称为三点不等式.

距离 d 有对称性 ，即 d ( x , y ) = d ( y , x ) .

实际上，在三点不等式中取 z = x , 并由条件 1 ^ { \circ } 知

d ( x , y ) \leqslant d ( x , x ) + d ( y , x ) = d ( y , x ) .

由于 x 和 y 的次序是任意的，故同样可证 $d ( y , x ) \l