Reverse, reciprocal, and reflected polynomials

多项式逆变换与对称特性

• 引言
  • 正文
  • • 当多项式中的自变量定义域限定在实数范围内时
    • 当多项式中的自变量定义域扩展至复数范围时

引言

在阅读文献的过程中，时常会接触到一个术语，即 reflected polynomial，因其具体含义尚不明确，故在此进行记录与说明。

正文

多项式自变量取值范围为为实数时

例如，考虑一个名为 polynomial（多项式）的数学表达式，其标准形式可表示为：

p\left ( x \right ) =a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^{n} \tag{1}

在此表达式中，a_0, a_1, \cdots,a_n 被称为多项式的系数，这些系数可以取自任意数域，如实数域、复数域等。对于此类多项式，存在一种被称为 reciprocal polynomial（倒数多项式）或 reflected polynomial（反射多项式）的特殊形式，其定义如下：

p^*\left ( x \right ) =p^R\left ( x \right ) =a_n+a_{n-1}x+\cdots+a_0x^{n}=x^{n}p\left ( x^{-1} \right ) \tag{2}

从上述定义可以看出，所谓倒