人工智能中的数学基础牛顿法

简述

【牛顿法在处理无约束非线性规划问题时被广泛应用，其核心思想是借助目标函数的二次泰勒展开式来确定搜索方向。无约束非线性规划问题： min f(x),\quad x \in R^n。当目标函数f(x)在R^n范围内具备连续的二阶偏导数，并且其Hessian矩阵正定(记作G(x)=\nabla^2f(x))，则可以采用牛顿法进行求解，该方法具有较高的收敛效率。

所谓正定矩阵（Positive Definite Matrix），指的是实对称矩阵的一种特殊形式，对于任意一个非零向量x ，均满足x^TAx > 0，其中A是一个n阶方阵，而x则为n维向量。

原理

在基础迭代表达式x^{k+1}=x^k+\alpha ^kd^k中，每次迭代的初始位置x^k处，采用一个恰当的二次函数对目标函数进行逼近，并以从x^k指向该二次函数最小值点的方向作为搜索方向d^k。
假设在完成k次迭代后获得x^k，将函数f(x)在该点依据泰勒展开式进行展开，并选取其对应的二次近似表达式：
$f(x)\approx f(x^k)+\nabla f(x^k)T(x-x^{k)+\frac{1}{2}(x-x}k)^T\nabla2 f(x^k)(x-xk) \quad \