小波变换概述（第1版）

1.有了Fourier，为什么还需要Wavelet?

先来揭揭短：

（1）Fourier分析无法体现信号在时间域上的局部特征。

（2）Fourier分析对于突变和非平稳信号的处理效果不佳，缺乏时频分析能力。

傅立叶变换将函数映射至正弦波上，将其分解为不同频率的正弦波，这一发现无疑具有重要意义。然而，在众多实际应用中，傅立叶变换所存在的限制也逐渐显露出来。事实上，在对光滑平稳信号进行表示时，傅立叶基已经接近最优解。然而日常生活中的信号并不总是保持光滑状态，奇异点往往普遍存在。傅立叶在处理这些奇异点时的表现令人不满 ，例如方波的傅立叶逼近过程就充分体现了这一点：需要使用大量不同频率的三角波进行逼近，其系数衰减速度非常缓慢，并且还会引发Gibbs效应。其根本原因在于其基函数具有全局性特征，缺乏局部优化能力，导致局部微小波动也会对整体系数造成影响。 在实际应用中，时频局部化能力显得尤为重要，而傅立叶显然不具备这一特性。尽管如此，由于其明确的物理意义以及高效的计算方法，在许多场景下仍然被广泛应用。从连续到离散的情形来看，傅立叶变换仍具有重要的借鉴价值。众所周知，时间周期对应频域离散、时间离散对应频域周期、时间离散周期对应频域离散周期；DFT本质上是将离散信号进行周期延拓后执行傅立叶变换，并截取一个周期作