常微分方程数值解法

常微分方程

首先了解什么是常微分方程式：它是指仅包含一个自变量及其对应函数及其导数（或全微分）的等式。具体定义如下：凡涉及参数、被求解的未知函数以及该未知函数相应变量上的导数（或全微分）的关系式都被视为一种形式上的等式关系——我们将其统称为"**微积分学中的基本概念之一——" 微分数学 **"（有时简称为" 方程式 "）。特别地，在这种情况下：

• 当被求解的未知量是一个关于单一自变量的普通可导对象时，则该类等式就被视为" 常系数线性差值问题 "；
• 而当被求解的对象是一个关于多个自变量可同时求导的对象时，则这类等式则被视为" 偏差问题 "。
  对于一阶常系数线性差值程式而言，在其初始阶段所面临的问题即为初值问题：即已知该程式在某特定点处的状态信息（如位置、速度等），进而推算出该程式在其后续时间区间内的行为轨迹等问题

其中y=y(x)是未知函数,y(x_0)=y_0是初值条件,而f(x,y)是给定的二元函数

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简单的数值方法和欧拉公式

简单的数值方法就是用差商代替导数,公式如下:

其中 h是步长;
改进的欧拉方法:

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龙格-库塔(Runge-Kutta)方法

欧拉方法作为龙格-库塔方法的一种特殊情况，在计算过程中其局部截断误差量级与二阶泰勒展开中的余项一致O(h^2)。为了进一步减少计算过