《实变函数简明教程》P114, 第7题（积分具有绝对连续性推导Lebesgue可积）

《实变函数简明教程》，P114，第7题（积分具有绝对连续性 推导 Lebesgue可积）

• 积分绝对连续性
• 待分析命题
• 引理：P57，29（2）
• 证明过程

积分绝对连续性

对于每个可测集E上的可测函数f及其Lebesgue积分而言，在讨论其绝对连续性质时，则表示对于每一个ε值大于零（即ε > 0），都存在着一个对应的δ值大于零（即δ > 0）。这种情况下，则意味着对于每个这样的子集{{E}_{0}}(其中{{E}_{0}} \subseteq E, {{E}_{0}} \in \mathcal{M})，只要这些子集的测度小于这个δ值（即m{{E}_{0}} < \delta ），则会满足以下条件：对于每个这样的子集{{E}_{0}}, 其上积分的结果也会小于ε（即\int_{{{E}_{0}}}{\left| f\left( x \right) \right|dx}<\varepsilon ）。

待分析命题

当函数f在有界可测集E上是可测的，并且其积分表现出绝对连续特性时，则可知f\in L(E)。

引理：P57，29（2）

当mE<+\infty时，则对于任取\varepsilon>0}, 存在一有限族可测集, 使得这些可测集在该族中的测度均不超过$\var