投影（Projections）

1. 投影（Projections）

1.1 投影到直线上（Projection onto a Line）

Proj_L(\vec{x})=c \vec{v} \\ ~\\ \vec{x}-Proj_L(\vec{x})\ is\ orthogonal\ to\ \vec{v}\\ ~\\ (\vec{x}-Proj_L(\vec{x}))\cdot\vec{v}=0\\ ~\\ (\vec{x}-c \vec{v})\cdot\vec{v}=0\\ ~\\ \vec{x}\cdot\vec{v}=c \vec{v}\cdot\vec{v}\\ ~\\ c=\frac{\vec{x}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\\ ~\\ Proj_L(\vec{x})=c \vec{v}=(\frac{\vec{x}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}})\vec{v}

$Proj_L(\vec{x})=(\frac{\vec{x}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}})